在邊長為
的正方形ABCD中，E、F分別為BC、CD的中點，M、N分別為AB、CF的中點，現沿AE、AF、EF折疊，使B、C、D三點重合，重合后的點記為
,構成一個三棱錐．
（1）請判斷
與平面
的位置關系，并給出證明；
（2）證明
平面
；
（3）求二面角
的余弦值．
（1）平行；（2）證明
和
即可；（3）
【解析】
試題分析：本題考查空間想象能力，在折疊過程中，找到不變的量是求解的關鍵.（1）由中位線定理，可證明
平行
；（2）證明和即可；（3）注意到三角形MEF、BEF都是等腰三角形，因此，取EF的中點即可求出二面角.
試題解析：（1）平行平面
證明：由題意可知點
在折疊前后都分別是
的中點（折疊后
兩點重合）
所以平行,
因為
，所以平行平面.
（2）證明：由題意可知的關系在折疊前后都沒有改變.
因為在折疊前
，由于折疊后
，點
，所以
因為
，所以
平面
.
（3）解：
所以
是二面角
的平面角.
因為
⊥
，所以
.
在
中，
，由于
，所以
，
于是
.
所以，二面角的余弦值為.
考點：1、線面平行；2、線面垂直的判定；3、二面角的概念及其求法.
科目：高中數學 來源：2013-2014學年福建四地六校高三上學期第三次月考文科數學試卷（解析版） 題型：解答題
在邊長為
的正方形ABCD中，E、F分別為BC、CD的中點，M、N分別為AB、CF的中點，現沿AE、AF、EF折疊，使B、C、D三點重合于B，構成一個三棱錐(如圖所示)．
（Ⅰ）在三棱錐上標注出
、
點，并判別MN與平面AEF的位置關系，并給出證明；
（Ⅱ）
是線段
上一點，且
,問是否存在點使得
,若存在，求出
的值;若不存在，請說明理由；
（Ⅲ）求多面體E-AFNM的體積．
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科目：高中數學 來源：2011-2012學年廣東省佛山市高三5月臨考集訓文科數學試卷（解析版） 題型：解答題
在邊長為
的正方形ABCD中，E、F分別為BC、CD的中點，M、N分別為AB、CF的中點，現沿AE、AF、EF折疊，使B、C、D三點重合，構成一個三棱錐．
（1）判別MN與平面AEF的位置關系，并給出證明；
（2）證明AB⊥平面BEF；
（3）求多面體E-AFNM的體積．
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科目：高中數學 來源：2011-2012學年福建省高三5月模擬考試文科數學試卷（解析版） 題型：解答題
（本小題滿分12分）
在邊長為
的正方形ABCD中，E、F分別為BC、CD的中點，M、N分別為AB、CF的中點，現沿AE、AF、EF折疊，使B、C、D三點重合于B，構成一個三棱錐(如圖所示)．
（Ⅰ）在三棱錐上標注出
、
點，并判別MN與平面AEF的位置關系，并給出證明；
（Ⅱ）
是線段
上一點，且
, 問是否存在點使得
,若存在，求出
的值;若不存在，請說明理由；
（Ⅲ）求多面體E-AFNM的體積．
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科目：高中數學 來源：2011-2012學年山東省菏澤市高三5月高考沖刺題文科數學試卷（解析版） 題型：解答題
在邊長為
的正方形ABCD中，E、F分別為BC、CD的中點，M、N分別為AB、CF的中點，現沿AE、AF、EF折疊，使B、C、D三點重合，構成一個三棱錐．
（I）判別MN與平面AEF的位置關系，并給出證明；
（II）求多面體E-AFMN的體積．
【解析】第一問因翻折后B、C、D重合（如下圖），所以MN應是
的一條中位線，則利用線線平行得到線面平行。
第二問因為
平面BEF，……………8分
且
，
∴
，又
∴
（1）因翻折后B、C、D重合（如圖），
所以MN應是的一條中位線，………………3分
則
．………6分
（2）因為平面BEF，……………8分
且，
∴，………………………………………10分
又 ∴
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