Question

（本小題滿分12分）

在邊長為的正方形ABCD中，E、F分別為BC、CD的中點，M、N分別為AB、CF的中點，現沿AE、AF、EF折疊，使B、C、D三點重合于B，構成一個三棱錐(如圖所示)．

   

（Ⅰ）在三棱錐上標注出、點，并判別MN與平面AEF的位置關系，并給出證明；

（Ⅱ）是線段上一點，且, 問是否存在點使得,若存在，求出的值;若不存在，請說明理由；

（Ⅲ）求多面體E-AFNM的體積．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）因翻折后B、C、D重合，所以MN應是的一條中位線； 詳見解析。

（Ⅱ）當點與點B重合時，此時；

（Ⅲ）．

【解析】本試題是一個折疊圖的運用。折疊圖要關注不變量，然后利用空間的線面的位置關系判定線面平行和線面垂直問題，然后求解錐體的體積的運算的綜合運用。

（1）因翻折后B、C、D重合，所以MN應是的一條中位線，且，利用線面平行的判定定理得到結論。

（2）假設存在點G點使得AB垂直于平面EFG，那么先猜想,然后利用猜想證明得到結論。

（3）要求錐體的體積，要分析已知中的高，即線面垂直的性質定理的運用。

解：（Ⅰ）因翻折后B、C、D重合，所以MN應是的一條中位線，如圖所示.

則                       ………………2分

證明如下： ．…4分

（Ⅱ）存在點使得，此時

      因為面EBF

      又是線段上一點，且,

      ∴ 當點與點B重合時，此時           ………………8分

（Ⅲ）因為

且，

∴，            ………………………………………9分

又　                    ………………………………11分

∴．                          …………………………………12分