Question

已知函數f(x)=loga(

x+1

x-1

)，（其中a＞0且a≠1）．
（1）判斷f（x）的奇偶性；
（2）若a＞1，判斷f（x）的單調性；
（3）當f（x）的定義域區間為（1，a）時，f（x）的值域為（1，+∞），求a的值．

Answer 1

分析：（1）先求出f（x）的定義域，再利用奇偶性的定義判斷奇偶性即可，注意到

x+1

x-1

與

x-1

x+1

互為導數，其對數值互為相反數．
（2）可通過復合函數“同增異減”判單調性．
（3）結合（2）中的單調性求出f（x）的最值，結合值域解方程即可．

解答：解：（1）由

x+1

x-1

＞0得x＜-1或x＞1，即f（x）的定義域為{x|x＜-1或x＞1}，
又f（-x）=loga

-x+1

-x-1

=loga

x-1

x+1

 =loga (

x+1

x-1

)-1=-f（x）
故f（x）為奇函數．
（2）f(x)=loga(

x+1

x-1

)由y=log_at和t=

x+1

x-1

復合而成，
a＞1時，y=log_at為增函數，
而t=

x+1

x-1

=1+

2

x-1

在（-∞，-1）和（1，+∞）上都為減函數，
由復合函數的單調性知，f（x）在（-∞，-1）和（1，+∞）上都為減函數．
（3）由題意a＞1，由（2）可知f（x）在（1，a）上為減函數，
故f（x）＞f（a）=loga

a+1

a-1

=1，即a²-2a-1=0，
a=1±

2

，又因為a＞1，故a=1+

2

點評：本題考查函數奇偶性的判斷、復合函數單調性的判斷及單調性的應用，考查利用所學知識解決問題的能力．