Question

若將函數f（x）=sinx的圖象按向量

a

=(-π，-2)平移后得到函數g（x）的圖象．
（1）求函數g（x）的解析式；
（2）求函數F（x）=f（x）-

1

g(x)

的最小值．

Answer 1

分析：（1）先設P（x，y）是函數f（x）=sinx的圖象上任意一點，按向量

a

=(-π，-2）平移后在函數g（x）的圖象上的對應點為P^′（x^′，y^′），再根據平移前后對應坐標之間的關系找到

x=x′+π y=y′+2

；最后代入函數f（x）=sinx的解析式即可得到函數g（x）的解析式；
（2）把第一問的結果直接代入，整理后借助于基本不等式即可求出函數F（x）=f（x）-

1

g(x)

的最小值．

解答：解：（1）設P（x，y）是函數f（x）=sinx的圖象上任意一點，
按向量

a

=(-π，-2）平移后在函數g（x）的圖象上的對應點為P^′（x^′，y^′），
則

x′=x-π y′=y-2

⇒

x=x′+π y=y′+2

即y^′+2=sin（x′+π），
所以函數g（x）=-sinx-2；
（2）∵F（x）=f（x）-

1

g(x)

=sinx+

1

sinx+2

=sinx+2+

1

sinx+2

-2
≥2

(sinx+2)• 1 sinx+2

-2=0．

當sinx+2=

1

sinx+2

即sinx=-1時，F（x）_min=0．．

點評：本題主要考查三角函數的平移以及利用基本不等式求函數的值域．三角函數的平移原則為左加右減上加下減