Question

已知函數f（x）=x³+ax²+bx+c圖象上一點M（1，m）處的切線方程為y-2=0，其中a，b，c為常數．
（Ⅰ）函數f（x）是否存在單調減區間？若存在，則求出單調減區間（用a表示）；
（Ⅱ）若x=1不是函數f（x）的極值點，求證：函數f（x）的圖象關于點M對稱．

Answer 1

分析：（Ⅰ）f（x）=x³+ax²+bx+c，f′（x）=3x²+2ax+b，由題意，知m=2，b=-2a-3，c=a+4，f′(x)=3x2+2ax-(2a+3) =3(x-1)(x+1+

2a

3

)，由此進行分類討論能求出單調減區間．
（Ⅱ）由x=1不是函數f（x）的極值點，a=-3，b=3，c=1，f（x）=x³-3x²+3x+1=（x-1）³+2，設點P（x₀，y₀）是函數f（x）的圖象上任一點，則y₀=f（x₀）=（x₀-1）³+2，點p（x₀，y₀）關于點M（1，2）的對稱點為Q（2-x₀，4-y₀），再由點P的任意性知函數f（x）的圖象關于點M對稱．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=x³+ax²+bx+c，f′（x）=3x²+2ax+b，（1分）
由題意，知m=2，f（1）=1+a+b+c=2，f′（1）=3+2a+b=0，
即b=-2a-3，c=a+4（2分）
f′(x)=3x2+2ax-(2a+3) =3(x-1)(x+1+

2a

3

)，（3分）
1當a=-3時，f′（x）=3（x-1）²≥0，函數f（x）在區間（-∞，+∞）上單調增加，
不存在單調減區間；（5分）
2當a＞-3時，-1-

2a

3

＜1，有

x	（-∞，-1- 2a 3 ）	（-1- 2a 3 ，1）	（1，+∞）
f′（x）	+	-	+
f（x）	↑	↓	↑

∴當a＞-3時，函數f（x）存在單調減區間，為[-1-

2a

3

，1]（7分）
3當a＜-3時，-1-

2a

3

＞1，有

x	（-∞，1）	（1，-1- 2a 3 ）	（-1- 2a 3 ，+∞）
f′（x）	+	-	+
f（x）	↑	↓	↑

∴當a＜-3時，函數f（x）存在單調減區間，為[1，-1-

2

3

a]（9分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：x=1不是函數f（x）的極值點，則a=-3，
b=3，c=1，f（x）=x³-3x²+3x+1=（x-1）³+2（10分）
設點P（x₀，y₀）是函數f（x）的圖象上任意一點，則y₀=f（x₀）=（x₀-1）³+2，
點p（x₀，y₀）關于點M（1，2）的對稱點為Q（2-x₀，4-y₀），
∵f（2-x₀）=（2-x₀-1）³+2=-（x₀-1）³+2=2-y₀+2=4-y₀
∴點Q（2-x₀，4-y₀）在函數f（x）的圖象上．
由點P的任意性知函數f（x）的圖象關于點M對稱．（14分）

點評：本題考查函數的單調性，具有一定的難度，解題時要結合導數的性質，合理地進行解答．