Question

【題目】定義函數，數列滿足，.

（1）若，求及；

（2）若且數列為周期函數，且最小正周期，求的值；

（3）是否存在，使得成等比數列？若存在，求出所有這樣的，若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，，理由見解析

【解析】

（1）對于分別取n＝1，2，an+1＝f（an），n∈N*．去掉絕對值符號即可得出；

（2）由已知可得，分三種情況討論即可求值；

（3）假設存在a1，使得a1，a2，…，an，…成等比數列，分類討論當及當和時，分別利用遞推關系及等比數列的定義，得出a1的取值范圍．

（1），

∴a2＝f（a1）＝f（﹣30）＝，

a3＝f（a2）＝f（）＝．

（2）由已知可得，

由題意數列為周期函數，且最小正周期，

則當時，a2＝f（a1）＝；a3＝f（a2）＝f（）＝，

得到（舍）；

當時，a2＝f（a1）＝；a3＝f（a2）＝f（）＝，

得到（舍）；

當時，a2＝f（a1）＝；

a3＝f（a2）＝f（ f（a1））＝，

令a3＝a1，則

則a1＝

綜上得到；

（3）假設存在a1，使得a1，a2，…，an，…成等比數列．

①當時，a2＝f（a1）＝；a3＝f（a2）＝，

則公比為，∴a2＝，則，則滿足題意；

②當a1時，則a2＝f（a1）＝，則必存在k使得，

若，由①知；

若，∴∴，則，，滿足，滿足公比為

綜上可知：a1的取值范圍為 [﹣2，+∞）．