Question

（1）某工廠準備在倉庫的一側建立一個矩形儲料場（如圖1），現有50米長的鐵絲網，如果用它來圍成這個儲料場，那么長和寬各是多少時，這個儲料場的面積最大？并求出這個最大的面積．
（2）如圖2，已知AB、DE是圓O的直徑，AC是弦，AC∥DE，求證CE=EB．
（3）如圖3所示的棱長為a的正方體中：①求CD₁和AB所成的角的度數；②求∠B₁BD₁的正弦值．

Answer 1

分析：（1）由圖可知儲料場是個矩形，設出其長為x寬為y，根據條件2x+y=50，用y表示出x，然后用配方法求出其最大值；
（2）根據中位線定理可得EB=

1

2

CB，然后再結合條件CB=CE+EB，進行證明；
（3）①CD₁和AB所成的角等于∠D₁CD，是個等腰三角形進而求解；②利用正弦三角函數的定義和性質進行求解．

解答：（1）解：設矩形儲料場的長為x寬為y，則因其一面靠墻，所以應有2x+y=50，即y=50-2x，設儲料場的面積為S，
則S=xy=x（50-2x）
=-2x²+50x
=-2（x-12.5）²+312.5
∴當x=12.5時，儲料場的面積最，S=312.5米²此時y=25米．

（2）解：證：∵AC∥DE，∴∠1=∠2．
∴EB=

1

2

CB，CB=2EB
但CB=CE+EB，
∴2EB=CE+EB，CE=EB，CE=EB．

（3）解：①CD₁和AB所成的角等于∠D₁CD，
∵△D₁CD是等腰三角形，∴∠D₁CD=45°．
②∵D₁B₁=

2

a，D₁B=

3

a，
∴sin∠B1BD1=

D1B1

D1B

=

6

3

．

點評：（1）是一道實際應用題，考查二次函數的最值問題，主要配方法是高考常用的方法；
（2）考查圓內簡單的幾何關系，利用三角形中位線定理進行求解；
（3）是一道簡單的立體幾何問題，解題的關鍵是找出所求的角，是一道基礎題．