Question

如圖，GH是東西方向的公路北側的邊緣線，某公司準備在GH上的一點B的正北方向的A處建一倉庫，設AB=y km，并在公路同側建造邊長為x km的正方形無頂中轉站CDEF（其中邊EF在GH上），現從倉庫A向GH和中轉站分別修兩條道路AB，AC，已知AB=AC+1，且∠ABC=60°．
（1）求y關于x的函數解析式；
（2）如果中轉站四周圍墻造價為1萬元/km，兩條道路造價為3萬元/km，問：x取何值時，該公司建中轉站圍墻和兩條道路總造價M最低？

Answer 1

分析：（1）根據題意得AB=y且AC=y-1，在Rt△BCF中，BC=2CF=2x．然后在△ABC中利用余弦定理AC²=AB²+BC²-2•AB•BC•cosB的式子建立關于x、y的等式，解出用x表示y的式子，即可得到y關于x的函數解析式；
（2）由（1）求出的函數關系式，結合題意得出總造價M=

12x2-3

x-1

-3+4x．然后換元：令x-1=t，化簡得到M=16t+

9

t

+25，利用基本不等式算出當t=

3

4

時，M的最小值為49．由此即可得出當總造價M最低時，相應的x值．

解答：解：（1）∵AB=y，AB=AC+1，∴AC=y-1．
∵在Rt△BCF中，CF=x，∠ABC=60°，
∴∠CBF=30°，可得BC=2x．
由于2x+y-1＞y，得x＞

1

2

．
在△ABC中，根據余弦定理AC²=AB²+BC²-2•AB•BC•cosB，
可得（y-1）²=y²+（2x）²-2（y-1）•2x•cos60°，
即（y-1）²=y²+4x²-2x（y-1），解得y=

4x2-1

2(x-1)

．
∵y＞0且x＞

1

2

，∴x＞1．
可得y關于x的函數解析式為y=

4x2-1

2(x-1)

，（x＞1）．
（2）由題意，可得總造價M=3[y+（y-1）]+4x=

12x2-3

x-1

-3+4x．
令x-1=t，則M=

12(t+1)2

t

-3+4（t+1）=16t+

9

t

+25≥2

16t• 9 t

+25=49，
當且僅當16t=

9

t

，即t=

3

4

時，M的最小值為49．
此時x=t+1=

7

4

，y=

4x2-1

2(x-1)

=

15

2

．
答：當x的值為

7

4

時，該公司建中轉站圍墻和道路總造價M最低．

點評：本題給出實際應用問題，求能夠使公司建中轉站圍墻和兩條道路總造價最低的方案．著重考查了函數解析式的求法、運用基本不等式求最值和余弦定理及其應用等知識，屬于中檔題．