Question

已知動點P與雙曲線

x2

2

-

y2

3

=1的兩個焦點F₁、F₂的距離之和為定值，且cos∠F₁PF₂的最小值為-

1

9

，則動點P的軌跡方程為

x2

18

+

y2

13

=1

．

Answer 1

分析：根據橢圓定義可知，所求動點P的軌跡為以F₁，F₂為焦點的橢圓，再結合余弦定理求出橢圓中的a，b的值即可

解答：解：∵

x2

2

-

y2

3

=1，∴c=

5

．
設|PF₁|+|PF₂|=2a（常數a＞0），2a＞2c=2

5

，
∴a＞

5

，
設|PF₁|=m，|PF₂|=n，
由余弦定理有cos∠F₁PF₂
=

m2+n2-|F1F2|2

2mn

=

(m+n)2-2mn-|F1F2|2

2mn

=

2a2-20

mn

-1
∵mn≤（

m+n

2

）²=a²，
∴當且僅當m=n時，mn取得最大值a²．
此時cos∠F₁PF₂取得最小值

2a2-20

a2

-1，
由題意

2a2-20

a2

-1=-

1

9

，
解得a²=18，
∴b²=a²-c²=18-5=13
∴P點的軌跡方程為

x2

18

+

y2

13

=1．
故答案為：

x2

18

+

y2

13

=1．

點評：本題考查了圓錐曲線的軌跡問題，考查橢圓的定義與橢圓的標準方程，考查余弦定理與基本不等式求最值．本題是圓錐曲線與基本不等式知識的一個綜合題，知識覆蓋面較廣．