Question

18、已知函數f（x）的導數f″（x）滿足0＜f′（x）＜1，常數a為方程f（x）=x的實數根．
（Ⅰ）若函數f（x）的定義域為M，對任意[a，b]⊆M，存在x₀∈[a，b]，使等式f（b）-f（a）=（b-a）f″（x₀）成立，求證：方程f（x）=x存在唯一的實數根a；
（Ⅱ） 求證：當x＞a時，總有f（x）＜x成立；
（Ⅲ）對任意x₁、x₂，若滿足|x₁-a|＜2，|x₂-a|＜2，求證：|f（x₁）-f（x₂）|＜4．

Answer 1

分析：（I）假設f（x）=x有不同于α的實數根β，利用反證法，我們可以證明假設不成立，進而得到方程f（x）=x存在唯一的實數根a；
（II）我們構造函數g（x）=x-f（x），我們可以利用導數法判斷出函數g（x）的單調性，進而得到當x＞a時，總有f（x）＜x成立；
（Ⅲ）不妨設x₁＜x₂，由已知中0＜f′（x）＜1，可以判斷出f（x）在定義域上為增函數，結合（II）中的結論，我們可得x₁-f（x₁）＜x₂-f（x₂），進而得到當|x₁-a|＜2，|x₂-a|＜2時，有|f（x₁）-f（x₂）|＜4．

解答：解：（I）設f（x）=x有不同于α的實數根β，即f（β）=β，不妨設β＞α，
于是在α與β間必存在c，α＜c＜β，
使得β-α=f（β）-f（α）=（β-α）f′C、∴f′C、=1，這與已知矛盾，∴方程f（x）=x存在唯一實數根α．
（II）令g（x）=x-f（x）
∴g′（x）=1-f′（x）＞0
∴g（x）在定義域上為增函數
又g（α）=α-f（α）=0∴當x＞α時，g（x）＞g（α）=0
∴當x＞α時，f（x）＜x、
（III）不妨設x₁＜x₂，∵0＜f′（x）＜1∴f（x）在定義域上為增函數
由（2）知x-f（x） 在定義域上為增函數、∴x₁-f（x₁）＜x₂-f（x₂）
∴0＜f（x₂）-f（x₁）＜x₂-x₁
即|f（x₂）-f（x₁）|＜|x₂-x₁|
∵|x₂-x₁|≤|x₂-α|+|x₁-α|＜4
∴|f（x₁）-f（x₂）|＜4．

點評：本題考查的知識點是函數與方程的綜合運用，導數的幾何意義，其中利用導數法判斷函數f（x）的單調性及g（x）=x-f（x）的單調性是解答本題的關鍵．