Question

如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P為線段BC₁上的動點，則下列判斷錯誤的是（　　）

A．DB₁⊥平面ACD₁

B．BC₁∥平面ACD₁

C．BC₁⊥DB₁

D．三棱錐P-ACD₁的體積與P點位置有關

Answer 1

分析：連接BD，A₁D，利用三垂線定理能夠證明DB₁⊥平面ACD₁；
由BC₁∥AD₁，BC₁?面ACD₁，AD₁?ACD₁，得到BC₁∥平面ACD₁；
由DB₁⊥平面ACD₁，知DB₁⊥AD₁，再由BC₁∥AD₁，知BC₁⊥DB₁；
由BC₁∥平面ACD₁，P為線段BC₁上的動點，知三棱錐P-ACD₁的體積為定值．

解答：解：連接BD，則BD⊥AC，
∵BB₁⊥面ABCD，∴DB₁⊥AC，
連接A₁D，則A₁D⊥AD₁，
∵A₁B₁⊥面ADD₁A₁，∴DB₁⊥AD₁，
∴DB₁⊥平面ACD₁，故A正確；
∵BC₁∥AD₁，BC₁?面ACD₁，AD₁?ACD₁，
∴BC₁∥平面ACD₁，故B正確；
∵DB₁⊥平面ACD₁，AD₁?平面ACD₁，
∴DB₁⊥AD₁，
∵BC₁∥AD₁，
∴BC₁⊥DB₁，故C正確；
∵BC₁∥平面ACD₁，P為線段BC₁上的動點，
∴三棱錐P-ACD₁的體積為定值，與P點位置無關，故D錯誤．
故選D．

點評：本題考查空間中直線與平面、直線與直線、平面與平面間的位置關系的判斷，是基礎題．解題時要認真審題，仔細解答．