Question

將數列{a_n}中的所有項按每一行比上一行多兩項的規則排成如下數表：
a₁
a₂a₃a₄
a₅a₆a₇a₈a₉
…
已知表中的第一列數a₁，a₂，a₅，…構成一個等差數列，記為{b_n}，且b₂=4，b₅=10．表中每一行正中間一個數a₁，a₃，a₇，…構成數列{c_n}，其前n項和為S_n．
（1）求數列{b_n}的通項公式；
（2）若上表中，從第二行起，每一行中的數按從左到右的順序均構成等比數列，公比為同一個正數，且a₁₃=1．①求S_n；②記M={n|（n+1）c_n≥λ，n∈N^*}，若集合M的元素個數為3，求實數λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設{b_n}的公差為d，則

b1+d=4 b1+4d=10

，由此能求出數列{b_n}的通項公式．
（2）①設每一行組成的等比數列的公比為q，由于前n行共有1+3+5+…+（2n-1）=n²個數，且3²＜13＜4²，解得q=

1

2

，cn=2n•(

1

2

)n-1=

n

2n-2

，所以Sn=

1

2-1

+

2

20

+

3

2

+…+

n

2n-2

，由錯位相減法能夠求得Sn=8-

n+2

2n-2

．
②由cn=

n

2n-2

，知不等式（n+1）c_n≥λ，可化為

n(n+1)

2n-1

≥λ，設f(n)=

n(n+1)

2n-2

，解得f(1)=4，f(2)=f(3)=6，f(4)=5，f(5)=

15

4

，由此能夠推導出λ的取值范圍．

解答：解：（1）設{b_n}的公差為d，
則

b1+d=4 b1+4d=10

，解得

b1=2 d=2

，∴b_n=2n．
（2）①設每一行組成的等比數列的公比為q，
由于前n行共有1+3+5+…+（2n-1）=n²個數，且3²＜13＜4²，
∴a₁₀=b₄=8，
∴a₁₃=a₁₀q³=8q³，
又a₁₃=1，解得q=

1

2

，
∴cn=2n•(

1

2

)n-1=

n

2n-2

，
∴Sn=

1

2-1

+

2

20

+

3

2

+…+

n

2n-2

，

1

2

Sn=

1

20

+

2

2

+…+

n-1

2 n-2

+

n

2n-1

，
∴

1

2

Sn=

1

2-1

+

1

20

+

1

2

+…+

1

2n-2

-

n

2n-1

=4-

n+2

2n-1

解得Sn=8-

n+2

2n-2

．
②由①知，cn=

n

2n-2

，不等式（n+1）c_n≥λ，可化為

n(n+1)

2n-2

≥λ，
設f(n)=

n(n+1)

2n-2

，解得f(1)=4，f(2)=f(3)=6，f(4)=5，f(5)=

15

4

，
∴n≥3時，f（n+1）＜f（n）．
∵集合M的元素個數是3，
∴λ的取值范圍是（4，5]．

點評：本題考查數列的通項公式的求法、前n項和的計算和等比數列性質的應用，解題時要注意方程思想和錯位相減求和法的合理運用，注意合理地進行等價轉化．