Question

已知整數數列{a_n}滿足：a₁=1，a₂=2，且2a_n-1＜a_n-1+a_n+1＜2a_n+1（n∈N，n≥2）．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）將數列{a_n}中的所有項依次按如圖所示的規律循環地排成如下三角形數表：

…
依次計算各個三角形數表內各行中的各數之和，設由這些和按原來行的前后順序構成的數列為{b_n}，求b₅+b₁₀₀的值；
（3）令cn=2+ban+b•2an-1（b為大于等于3的正整數），問數列{c_n}中是否存在連續三項成等比數列？若存在，求出所有成等比數列的連續三項；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由數列{a_n}是整數數列，結合2a_n-1＜a_n-1+a_n+1＜2a_n+1，可得2a_n=a_n-1+a_n+1，根據等差數列的定義，推出{a_n}是等差數列，進而求出其通項公式；
（2）仔細讀題，找到其循環規律，確定b_n是第幾個循環中的第幾行中各數之和是解題的關鍵．
（3）由（1）（2）的結論，求出c_n的表達式，利用等比數列的定義，得到關于b、n的關系式，然后分n=1，n=2，n≥3分別討論，即可得出結論．

解答：解：（1）因為數列{a_n}是整數數列，所以a_n是整數，
所以2a_n-1，a_n-1+a_n+1，2a_n+1都是整數．
又2a_n-1＜a_n-1+a_n+1＜2a_n+1（n∈N，n≥2），
所以2a_n=a_n-1+a_n+1，
即數列{a_n}是首項為1，公差d=a₂-a₁=1的等差數列，所以a_n=n．

（2）設每一個循環（4行）記為一組，由于每一個循環含有4行，
故b₁₀₀是第25個循環中的第4行中各數之和．
由循環分組規律知，每個循環共有10項，
故第25個循環中的第4行內的4個數分別為數列{a_n}中的第247項至第250項，
又a_n=n．所以b₁₀₀=247+248+249+250=994．
b₅=a₁₁=11，所以b₅+b₁₀₀=11+994=1005．

（3）因為cn=2+ban+b•2an-1=2+bn+b•2n-1，
設數列{c_n}中，c_n，c_n+1，c_n+2成等比數列，即c_n+1²=c_n•c_n+2，
所以（2+nb+b+b•2ⁿ）²=（2+nb+b•2^n-1）（2+nb+2b+b•2ⁿ⁺¹）
化簡得b=2ⁿ+（n-2）•b•2^n-1（*）
當n=1時，b=1，等式（*）成立，而b≥3，故等式（*）不成立；
當n=2時，b=4，等式（*）成立；
當n≥3時，b=2ⁿ+（n-2）•b•2^n-1＞（n-2）•b•2^n-1≥4b，這與b≥3矛盾，故等式（*）不成立．
綜上所述，當b≠4時，數列{c_n}中不存在連續三項等等比數列；
當b=4時，數列{c_n}中存在連續三項等等比數列，這三項依次是18，30，50．

點評：本題在應用等差數列的定義、通項公式、前n項和公式的同時，還考查了學生的邏輯推理能力，運算能力以及對公式的靈活運用能力，是一道綜合性很強的題目．