Question

【題目】甲、乙二人進行一場比賽，該比賽采用三局兩勝制，即先獲得兩局勝利者獲得該場比賽勝利.在每一局比賽中，都不會出現平局，甲獲勝的概率都為.

（1）求甲在第一局失利的情況下，反敗為勝的概率；

（2）若，比賽結束時，設甲獲勝局數為，求其分布列和期望；

（3）若甲獲得該場比賽勝利的概率大于甲每局獲勝的概率，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）詳見解析；（3）.

【解析】

（1）設甲在第一局失利，甲獲得了比賽的勝利，利用條件概率的概率公式可求得所求事件的概率；

（2）根據題意可知隨機變量的可能取值為、、，計算出隨機變量在不同取值下的概率，列出分布列，進而可計算出隨機變量的數學期望；

（3）計算出甲獲得該場比賽的概率，根據題意得出關于的不等式，即可解得的取值范圍.

（1）設甲在第一局失利，甲獲得了比賽的勝利，則；

（2）由題意可知，隨機變量的可能取值為、、，

則，，.

隨機變量的分布列如下：

則；

（3）甲獲得該場比賽勝利的概率為，則.

即，解得，所以的取值范圍是.