Question

【題目】某小區內有一塊以為圓心半徑為20米的圓形區域.廣場，為豐富市民的業余文化生活，現提出如下設計方案：如圖，在圓形區域內搭建露天舞臺，舞臺為扇形區域，其中兩個端點，分別在圓周上；觀眾席為梯形內且在圓外的區域，其中，，且，在點的同側.為保證視聽效果，要求觀眾席內每一個觀眾到舞臺處的距離都不超過60米.設.

（1）求的長（用表示）；

（2）對于任意，上述設計方案是否均能符合要求？

Answer 1

【答案】(1) (2)能符合要求

【解析】

（1）利用垂徑定理，可以得到一個直角三角形，可以求出的長；

（2）根據垂線段最短這個性質，可以得到點處的觀眾離點最遠，利用余弦定理求出的長，求出它的最大值，與60進行比較，得出結論。

解：（1）過點作垂直于，垂足為

在直角三角形中，，

所以，因此

（2）由圖可知，點處的觀眾離點最遠

在三角形中，由余弦定理可知

．

因為，所以當，即時，

＝800＋1600，

又＝800＋1600

所以

所以觀眾席內每一個觀眾到舞臺處的距離都不超過米．

故對于任意，上述設計方案均能符合要求．