Question

（本小題滿分14分）
已知橢圓的左、右焦點分別為，點是軸上方橢圓上的一點，且, , ．
(Ⅰ) 求橢圓的方程和點的坐標；
（Ⅱ）判斷以為直徑的圓與以橢圓的長軸為直徑的圓的位置關系；
（Ⅲ）若點是橢圓：上的任意一點，是橢圓的一個焦點，探究以為直徑的圓與以橢圓的長軸為直徑的圓的位置關系．

Answer 1

(Ⅰ) 橢圓的方程是：，
（Ⅱ）兩圓相內切
（Ⅲ）兩圓內切

解: (Ⅰ)在橢圓上 ,          ……………….1分
,         ……………….2分
, .       
所以橢圓的方程是：                       ……………….4分
，                 ……….5分
（Ⅱ）線段的中點 
∴ 以為圓心為直徑的圓的方程為 
圓的半徑                                          …………….8分
以橢圓的長軸為直徑的圓的方程為：  ，圓心為，半徑為
圓與圓的圓心距為 所以兩圓相內切  ………10分
（Ⅲ）以為直徑的圓與以橢圓的長軸為直徑的圓相內切           ………11分
設是橢圓的另一個焦點，其長軸長為，
∵點是橢圓上的任意一點，是橢圓的一個焦點，
則有 ，則以為直徑的圓的圓心是，圓的半徑為，
以橢圓的長軸為直徑的圓的半徑，
兩圓圓心、分別是和的中點，
∴兩圓心間的距離，所以兩圓內切．…….14分