Question

已知向量

a

=(

2

cos(α+β)，

2

sin(α+β))，

b

=(-sinβ，cosβ)，若向量

a

與

b

的夾角為

5π

6

，且α∈(

3π

2

，2π)，求cos(2α+

π

4

)的值．

Answer 1

分析：利用兩個向量的夾角公式及α的范圍求出α，可求cos2α和sin2α，利用 兩角和的余弦公式求出cos(2α+

π

4

)  的值．

解答：解：∵|

a

|=

2

，|

b

|=1，cos

5π

6

=-

3

2

=

a • b

| a |•| b |

=

- 2 cos(α+β)sinβ+ 2 sin(α+β)cosβ

2 ×1

=sinα，∴sinα=-

3

2

．又α∈(

3π

2

，2π)，∴α=

5π

3

． cos2α=2cos²α-1=-

1

2

，
sin2α=2sinα cosα=-

3

2

，
∴cos(2α+

π

4

)=cos2αcos

π

4

-sin2αsin

π

4

=-

1

2

×

2

2

+

3

2

×

2

2

=

6 - 2

4

．

點評：本題考查兩個向量的數量積公式，兩角和差的余弦公式的應用，求出α 值是解題的關鍵和難點．