Question

定義在R上的函數(shù)y=f（x）滿足f（5+x）=f（-x），（x-

5

2

）f′（x）＞0，已知x₁＜x₂，則f（x₁）＞f（x₂）是x₁+x₂＜5的（　　）條件．

• A、充分不必要
• B、必要不充分
• C、充分必要
• D、既不充分也不必要

Answer 1

分析：先求出對稱軸，然后根據(jù)(x-

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)f/(x)＞0可判定函數(shù)在對稱軸兩側(cè)的單調(diào)性，最后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可驗證是充要條件．

解答：解：∵f（5+x）=f（-x），所以函數(shù)f（x）關(guān)于x=

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2

對稱
∵(x-

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)f/(x)＞0，
∴x＞

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時，f'（x）＞0  函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；當(dāng)x＜

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時，f'（x）＜0   函數(shù)f（x）單調(diào)遞減
當(dāng)x₁＜x₂時，若f（x₁）＞f（x₂）則有x₁＜x₂＜5-x₁，∴x₁+x₂＜5成立，故條件充分
當(dāng)x₁+x₂＜5時，必有x₂＜5-x₁成立，又因為x₁＜x₂，所以f（x₁）＞f（x₂）成立，故必要
f（x₁）＞f（x₂）是x₁+x₂＜5的充要條件
故選C．

點評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)情況之間的關(guān)系和充分、必要條件的判定．屬中檔題．