Question

【題目】在平面直角坐標系中，點，點在軸上，點在軸非負半軸上，點滿足：

（1）當點在軸上移動時，求動點的軌跡C的方程；

（2）設為曲線C上一點，直線過點且與曲線C在點處的切線垂直，與C的另一個交點為，若以線段為直徑的圓經過原點，求直線的方程．

Answer 1

【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）

【解析】

試題分析：（1）由點在軸上，點在軸非負半軸上且為動點，可設出設A（a，0），B（0，b），M（x，y）,由關系,將向量坐標代入可得動點的軌跡C的方程.

(2)設Q（m，2m2）, 直線過點且與曲線C在點處的切線垂直,可求出直線l的方程為y﹣2m2=（x﹣m）,設,聯立與C的方程，并由韋達定理可得,, （2m2）yR，2m2yR，又由線段為直徑的圓經過原點，所以，即mxR+（2m2）yR=0，整理后可求出直線的方程．

試題解析：

解：（Ⅰ）設A（a，0），M（x，y），B（0，b），則=（x﹣a，y），=（﹣a，b），=（a，1）

∵=2，∴有（x﹣a，y）=2（﹣a，b），即有x﹣a=﹣2a，y=2b，即x=﹣a，y=2b

∵，∴有a（x﹣a）+y=0

∴﹣x（x+x）+y=0，∴﹣2x2+y=0

即C的方程是y=2x2；

（Ⅱ）設Q（m，2m2），直線l的斜率為k，則y′=4x，∴k=

∴直線l的方程為y﹣2m2=（x﹣m）

與y=2x2聯立，消去y可得2x2+x﹣2m2﹣=0，該方程必有兩根m與xR，且mxR=﹣m2﹣

∴（2m2）yR=4（﹣m2﹣）2

∵，∴mxR+（2m2）yR=0，∴﹣m2﹣+4（﹣m2﹣）2=0，∴m=±

∴直線l的方程為．