Question

已知關于x的不等式：-x²+3x＞|a（x-1）|．
（1）若a=1，求不等式的解集；
（2）若不等式只有一個整數解，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）若a=1，不等式可化為-（-x²+3x）＜x-1＜-x²+3x，解這個一元二次不等式組即可
（2）若不等式只有一個整數解，則這個解一定在（0，3）范圍內，從而確定此方程的整數解，代入不等式即可求實數a的取值范圍．

解答：解：（1）∵a=1，∴不等式可化為-（-x²+3x）＜x-1＜-x²+3x，∴

2- 3 ＜x＜2+ 3 1- 2 ＜x＜1+ 2

，
∴原不等式的解集為(2-

3

，1+

2

)
（2）∵-x²+3x＞|a（x-1）|≥0⇒x²-3x＜0⇒0＜x＜3，
又此不等式只有一個整數解且x=1時顯然不滿足題意，
故只有x=2這唯一正整數解，將x=2代入不等式中解得|a|＜2，且可知a=0時不滿足題意，
∴a的取值范圍為（-2，0）∪（0，2）

點評：本題考查了絕對值不等式、一元二次不等式的解法，利用推理驗證的方法求不等式的整數解