Question

若實數x，y滿足

x2

4

+y2=x，則x²+y²有（　　）

• A、最小值-

  1

  3

  ，無最大值
• B、最小值-

  1

  3

  ，最大值16
• C、最小值0，無最大值
• D、最小值0，最大值16

Answer 1

分析：從已知等式中將y用x表示出，但要注意y²≥0對應的x的范圍；代入研究的代數式，得到關于x的二次函數，求出二次函數的對稱軸，判斷出對稱軸與定義域的位置關系，得到二次函數的單調性．

解答：解：∵

x2

4

+y2=x
∴y2=x-

x2

4

且由y2=x-

x2

4

≥0得0≤x≤4
∴x2+y2=x2+ x-

x2

4

=

3

4

x2+x（0≤x≤4）
對稱軸為x=-

2

3

所以

3

4

x2+x在[0，4]上遞增
所以當x=0時，最小為0；當x=4時最大為16
故選D

點評：本題考查等量代換的方法，注意變量的范圍；考查二次函數最值的求法，關鍵是弄清對稱軸與區間的位置關系，判斷出二次函數的單調性．