Question

已知函數f（x）=x³+3bx²+cx+d在（-∞，0）上是增函數，在（0，2）上是減函數，且f（x）=0的一個根為-b
（Ⅰ）求c的值；
（Ⅱ）求證：f（x）=0還有不同于-b的實根x₁、x₂，且x₁、-b、x₂成等差數列；
（Ⅲ）若函數f（x）的極大值小于16，求f（1）的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）求導函數，利用函數f（x）=x³+3bx²+cx+d在（-∞，0）上是增函數，在（0，2）上是減函數，可得x=0是極大值點，從而f'（0）=0，故可求c的值；
（Ⅱ）令f'（x）=0，得x=0或-2b，根據-b是方程f（x）=0的一個根，可得f（x）=x³+3bx²-2b³=（x+b）（x²+2bx-2b²），從而可得方程x²+2bx-2b²=0的根的判別式△=4b²-4（-2b²）=12b²＞0，結合（-b）²+2b（-b）-2b²=-3b²≠0，可得結論；
（Ⅲ）根據函數的單調性可知x=0是極大值點，從而可得-2＜b≤-1，構造函數g（b）=f（1）=-2b³+3b+1，可得g（b）在（-2，-1]上單調遞減，即可求得f（1）的取值范圍．
解答：（Ⅰ）解：求導函數，可得f'（x）=3x²+6bx+c
∵函數f（x）=x³+3bx²+cx+d在（-∞，0）上是增函數，在（0，2）上是減函數，
∴x=0是極大值點，
∴f'（0）=0，∴c=0…（2分）
（Ⅱ）證明：令f'（x）=0，得x=0或-2b
由f（x）的單調性知-2b≥2，∴b≤-1
∵-b是方程f（x）=0的一個根，則（-b）³+3b（-b）²+d=0⇒d=-2b³
∴f（x）=x³+3bx²-2b³=（x+b）（x²+2bx-2b²）…（4分）
方程x²+2bx-2b²=0的根的判別式△=4b²-4（-2b²）=12b²＞0
又（-b）²+2b（-b）-2b²=-3b²≠0，
即-b不是方程x²+2bx-2b²=0的根，∴f（x）=0有不同于-b的根x₁、x₂．
∵x₁+x₂=-2b，∴x₁、-b、x₂成等差數列                   …（8分）
（Ⅲ）解：根據函數的單調性可知x=0是極大值點
∴f（0）＜16⇒-2b³＜16，∴b＞-2，于是-2＜b≤-1
令g（b）=f（1）=-2b³+3b+1
求導g'（b）=-6b²+3-2＜b≤-1時，g'（b）＜0，
∴g（b）在（-2，-1]上單調遞減
∴g（-1）≤g（b）＜g（-2）
即0≤f（1）＜11…（14分）
點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的極值，考查函數的單調性，正確運用導數是關鍵．