Question

如圖，三條直線a、b、c兩兩平行，直線a、b間的距離為p，直線b、c間的距離為

p

2

，A、B為直線a上的兩個定點，且AB=2p，MN是在直線b上滑動的長度為2p的線段．
（1）建立適當的平面直角坐標系，求△AMN的外心C的軌跡E；
（2）當△AMN的外心C在E上什么位置時，使d+BC最小？最小值是多少？（其中，d為外心C到直線c的距離）

Answer 1

分析：（1）以直線b為 x軸，以過點A且與b直線垂直的直線為y軸，建立直角坐標系，設出外心坐標，利用距離相等列出方程即可求解△AMN的外心C的軌跡E；
（2）直線c是軌跡E的準線，推出d=|CF|，F是拋物線的焦點，通過d+|BC|=|CF|+|BC|，由兩點距離可知直線段最短，聯立y=

1

4

x+

1

2

p，與x²=2py，即可求出C的坐標，求出最小值．

解答：解：以直線b為 x軸，以過點A且與b直線垂直的直線為y軸，建立直角坐標系，
由題意A（0，p），設△AMN的外心C（x，y），則M（x-p，0）N（x+p，0），
由題意有|CA|=|CM|．∴

x2+(y-p)2

=

(x-x+p)2+y2

，
解得x²=2py，它是以原點為頂點、y軸為對稱軸、開口向上的拋物線．
（2）不難得到，直線c是軌跡E的準線，由拋物線的定義可知，d=|CF|，
其中F（0.

p

2

），是拋物線的焦點，
所以d+|BC|=|CF|+|BC|，
由兩點距離可知直線段最短，
線段BF與軌跡E的交點就為所求的使d+|BC|最小點，
由兩點式方程可求直線BF的方程為：y=

1

4

x+

1

2

p，與x²=2py聯立，
得C（

1

4

p(1+

17

)，

9+ 17

16

p）．
故當△AMN的外心C在E上
C（

1

4

p(1+

17

)，

9+ 17

16

p）時，d+|BC|最小，
最小值|BF|=

17

2

p．

點評：本題考查軌跡方程的求法，距離的最小值的求解與應用，考查軌跡方程求法的一般步驟，轉化思想的應用．