Question

如圖，三條直線a、b、c兩兩平行，直線a、b間的距離為p，直線b、c間的距離為，A、B為直線a上兩定點，且｜AB｜=2p，MN是在直線b上滑動的長度為2p的線段。 

（1）建立適當的平面直角坐標系，求△AMN的外心C的軌跡E；

（2）接上問，當△AMN的外心C在E上什么位置時，d+｜BC｜最小，最小值是多少？（其中d是外心C到直線c的距離）.

Answer 1

（1）x²=2py,它是以原點為頂點，y軸為對稱軸，開口向上的拋物線,（2）最小值為｜BF｜=

解析:

（1）以直線b為x軸，以過A點且與b直線垂直的直線為y軸建立直角坐標系.

設△AMN的外心為C(x,y)，則有A(0,p)、M（x–p,0)，N(x+p,0)，

由題意，有｜CA｜=｜CM｜

∴,化簡，得

x²=2py,它是以原點為頂點，y軸為對稱軸，開口向上的拋物線.

（2）由（1）得，直線c恰為軌跡E的準線.

由拋物線的定義知d=｜CF｜，其中F（0,）是拋物線的焦點.

∴d+｜BC｜=｜CF｜+｜BC｜

由兩點間直線段最短知，線段BF與軌跡E的交點即為所求的點

直線BF的方程為聯立方程組

得.

即C點坐標為().

此時d+｜BC｜的最小值為｜BF｜=.