Question

下列命題正確的個數為     
①若0＜a＜1，則函數f（x）=log_a（x+5）的圖象不經過第三象限；
②已知函數y=f（x-1）定義域是[-2，3]，則y=f（2x-1）的定義域是[-1，3]；
③函數y=的單調減區間是（-∞，-1）
④已知集合M={x|x+y=2}，N={y|y=x²}，那么M∩N=Φ；
⑤已知函數f（x）是定義在R上的不恒為0的函數，且對于任意的a，b∈R，都有f（ab）=af（b）+bf（a），則函數f（x）為奇函數．

Answer 1

【答案】分析：對于①，函數y=log_a（x+5）的圖象可看作是由函數y=log_ax的圖象左移五個單位得到，結合函數y=log_ax的圖象及平移規則，即可判斷出圖象不過的象限；對于②，求出函數y=f（2x-1）的定義域對比即可；對于③，定義域優先原則，對于④，分別求出集合M與N，再求交集可判定；對于⑤，先給a，b賦值，求得f（1）與f（-1），然后再利用條件探討f（-x）與f（x）的關系，即可得到函數的奇偶性．
解答：解：對于①，函數y=log_a（x+5）的圖象可看作是由函數y=log_ax的圖象左移五個單位得到，
由0＜a＜1，所以函數y=log_ax圖象過一、四象限且遞減，與橫軸的交點過（1，0），
故函數y=log_a（x+5）的圖象也是遞減的，且過（-4，0），
由此圖象特征知，函數y=log_a（x+5）的圖象不經過第一象限，故①不正確
對于②，已知函數y=f（x-1）定義域是[-2，3]，所以x-1∈[-3，2]．
2x-1∈[-3，2]，所以y=f（2x-1）的定義域是[-1，]，故②不正確．
對于③，函數y=的定義域為（-∞，-3]∪[1，+∞），故減區間為（-∞，-3]，故③不正確；
對于④，M={x|x+y=2}=R，N={y|y=x²}=[0，+∞），故M∩N≠Φ，故④不正確；
對于⑤，令a=b=1則f（1）=2f（1）則f（1）=0
令a=b=-1，則f（1）=-2f（-1）=0∴f（-1）=0
令a=x，b=-1，則f（-x）=-f（x）+xf（-1）=-f（x）
則f（x）為奇函數．故⑤正確
故正確有1個
故答案為：1
點評：本題主要考查了函數的定義域，單調性以及函數奇偶性的判斷---定義法，在研究抽象函數的性質時注意賦值法的應用，同時考查了分析求解能力，屬于基礎題．