(Ⅰ)求證：函數g(x)=
在(0,+∞)上是增函數；
(Ⅱ)求證：當x1＞0,x2＞0時，有f(x1+x2)＞f(x1)+f(x2);
(Ⅲ)求證：
ln22+
ln32+
ln42+…+
ln(n+1)2＞
(n∈N*).
(Ⅰ)證明：∵g′(x)=,又xf′(x)＞f(x)在x＞0時恒成立，
∴g′(x)＞0,∴g(x)=在(0,+∞)上是增函數.
(Ⅱ)證明：當x1＞0,x2＞0時，有x1+x2＞x1,x1+x2＞x2,
由（Ⅰ）得g(x1+x2)＞g(x1),g(x1+x2)＞g(x2),
即：＞,＞.
∴x1f(x1+x2)＞(x1+x2)f(x1),
x2f(x1+x2)＞(x1+x2)f(x2),
∴(x1+x2)f(x1+x2)＞(x1+x2)(f(x1)+f(x2)),
∴f(x1+x2)＞f(x1)+f(x2).
(Ⅲ)用數學歸納法證明
(ⅰ)當n=1時，左=
=
ln4,
右=
=
·
，由于ln4＞1＞
,
∴
ln4＞
·
.即原不等式成立.
(ⅱ)假設n=k時，命題成立.即：
+
+
+…+
＞
,
那么：
+
+
+…+
＞
2
+
=
=
·
≥
.
這就是說，當n=k+1時，命題也成立.
由(ⅰ)(ⅱ)可知，對一切n∈N*,都有
+
+
+…+
＞
成立.
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名校作業本系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
(1)求證:函數g(x)=
在(0,+∞)上是增函數;
(2)求證:當x1＞0,x2＞0時,有f(x1+x2)＞f(x1)+f(x2);
(3)已知不等式ln(1+x)＜x在x＞-1且x≠0時恒成立,求證:
ln22+
ln32+
ln42+…+
)2ln(n+1)2＞
(n∈N*).
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科目：高中數學 來源： 題型：
(Ⅰ)求證：函數g(x)=
在(0,+∞)上是增函數；
(Ⅱ)求證：當x1＞0,x2＞0時，有f(x1+x2)＞f(x1)+f(x2)；
(Ⅲ)已知不等式ln(1+x)＜x在x＞-1且x≠0時恒成立，求證：
ln22+
ln32+
ln42+…+
ln(n+1)2＞
(n∈N*).
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科目：高中數學 來源： 題型：
（Ⅰ）求證：函數g(x)=
在（0，+∞）上是增函數；
（Ⅱ）求證：當x1＞0,x2＞0時，有f(x1+x2)＞f(x1)+f(x2);
（Ⅲ）已知不等式ln（1+x)＜x在x＞-1且x≠0時恒成立，求證：
ln22+
ln32+
ln42+…+
ln(n+1)2＞
(n∈N*).
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科目：高中數學 來源： 題型：
(1)求證：函數g(x)=
在(0，+∞)上單調遞增；
(2)求證：當x1＞0，x2＞0時，f(x1+x2)＞f(x1)+f(x2)．
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