(Ⅰ)求證：函數g(x)=
在(0,+∞)上是增函數；
(Ⅱ)求證：當x1＞0,x2＞0時，有f(x1+x2)＞f(x1)+f(x2)；
(Ⅲ)已知不等式ln(1+x)＜x在x＞-1且x≠0時恒成立，求證：
ln22+
ln32+
ln42+…+
ln(n+1)2＞
(n∈N*).
解：(Ⅰ)由g(x)=，對g(x)求導數知g′(x)=.
由xf′(x)＞f(x)可知：g′(x)＞0在x＞0時恒成立.
從而g(x)=在x＞0時是單調遞增函數.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知g(x)=在x＞0時是增函數.
在x1＞0,x2＞0時，＞,
＞
.
于是f(x1)＜
f(x1+x2),f(x2)＜
f(x1+x2).
兩式相加得到：f(x1)+f(x2)＜f(x1+x2).
(Ⅲ)由(Ⅱ)可知：g(x)=
在x＞0上單調遞增時,有f(x1+x2)＞f(x1)+f(x2)(x1＞0，x2＞0)恒成立.
由數學歸納法可知：xi＞0(i=1,2,3,…,n)時,
有f(x1)+f(x2)+f(x3)+…+f(xn)＜f(x1+x2+x3+…+xn)(n≥2)恒成立.
設f(x)=xlnx，則在xi＞0(i=1,2,3,…,n)時，
有x1lnx1+x2lnx2+…+xnlnxn＜(x1+x2+…+xn)ln(x1+x2+x3+…+xn)(n≥2)…①
恒成立.
令xn=
，記Sn=x1+x2+…+xn=
+
+…+
.
由Sn＜
+
+…+
=
.
Sn＞
+
+…+
=
-
.
(x1+x2+…+xn)ln(x1+x2+x3+…+xn)＜(x1+x2+…+xn)ln(
)＜-
(x1+x2+…+xn)
∵ln(1+x)＜x＜-
(
-
)=-
. ②
則②代入①中，可知：
ln
+
ln
+…+
ln
＜-
.
于是
ln22+
ln32+…+
ln(n+1)2＞
.
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(1)求證:函數g(x)=
在(0,+∞)上是增函數;
(2)求證:當x1＞0,x2＞0時,有f(x1+x2)＞f(x1)+f(x2);
(3)已知不等式ln(1+x)＜x在x＞-1且x≠0時恒成立,求證:
ln22+
ln32+
ln42+…+
)2ln(n+1)2＞
(n∈N*).
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(Ⅰ)求證：函數g(x)=
在(0,+∞)上是增函數；
(Ⅱ)求證：當x1＞0,x2＞0時，有f(x1+x2)＞f(x1)+f(x2);
(Ⅲ)求證：
ln22+
ln32+
ln42+…+
ln(n+1)2＞
(n∈N*).
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科目：高中數學 來源： 題型：
（Ⅰ）求證：函數g(x)=
在（0，+∞）上是增函數；
（Ⅱ）求證：當x1＞0,x2＞0時，有f(x1+x2)＞f(x1)+f(x2);
（Ⅲ）已知不等式ln（1+x)＜x在x＞-1且x≠0時恒成立，求證：
ln22+
ln32+
ln42+…+
ln(n+1)2＞
(n∈N*).
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(1)求證：函數g(x)=
在(0，+∞)上單調遞增；
(2)求證：當x1＞0，x2＞0時，f(x1+x2)＞f(x1)+f(x2)．
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