Question

【題目】設函數．

（1）求函數的單調區間；

（2）設是否存在極值，若存在，請求出極值；若不存在，請說明

理由；

（3）當時．證明： ．

Answer 1

【答案】（1）的單調增區間為， 的單調減區間為；（2）時， 無極值， 時， 有極大值,無極小值．

【解析】試題解析：

（1）求得導數，由不等式得增區間，由不等式得減區間；（2）求出導函數，確定的解及在解的兩側的正負，當時， ， 無零點，函數無極值點，當時， 在上有一解，且在此解的兩側， 的符號相反，因此有極值點，可得極值；（3）不等式即為，因此只要求得的最小值且大于2即可．本題最小值不能直接求得，只有用估計值，由得，從而有，可證其大于2．

試題解析：

（1） ．令，即，得，

故的增區間為；令，即，得，

故的減區間為；∴的單調增區間為， 的單調減區間為．

（2）

當時，恒有∴在上為增函數， 故在上無極值；

當時，令，得 單調遞增，

單調遞減．∴， 無極小值；

綜上所述： 時， 無極值， 時， 有極大值,無極小值．

（Ⅲ）證明：設則即證，只要證

∵∴，

又在上單調遞增

∴方程有唯一的實根，且．

∵當時， ．當時，

∴當時，

∵即，則 ∴

∴原命題得證.