Question

設函數，其中．
（I）若函數圖象恒過定點P，且點P關于直線的對稱點在的圖象上，求m的值；
（Ⅱ）當時，設，討論的單調性；
（Ⅲ）在(I)的條件下，設，曲線上是否存在兩點P、Q，使△OPQ(O為原點)是以O為直角頂點的直角三角形，且斜邊的中點在y軸上？如果存在，求a的取值范圍；如果不存在，說明理由．

Answer 1

( I ) ；(Ⅱ)當m≥0時，在(0，＋∞)上為增函數；當m＜0時，在上為增函數，在上為減函數.(Ⅲ)存在，.

試題分析：( I )先求出定點P，然后找出點P關于直線的對稱點代入，即得到；(Ⅱ)將代入，得到，再討論m的取值范圍，從而得到的單調性；(Ⅲ)先求出的表達式，再假設存在P、Q兩點滿足題意，由，討論的范圍，從而得到a的取值范圍為.
試題解析：( I ) 令，則，即函數圖象恒過定點P (2，0)    (1分)
∴P (2，0)關于直線的對稱點為(1，0)       (2分)
又點(1，0)在的圖象上，∴，∴      (3分)
(Ⅱ) ∵且定義域為      (4分)
∴    (5分)
∵x＞0，則x＋1＞0　
∴當m≥0時，此時在(0，＋∞)上為增函數.      (6分)
當m＜0時，由得，由得
∴在上為增函數，在上為減函數.      (7分)
綜上，當m≥0時，在(0，＋∞)上為增函數.
當m＜0時，在上為增函數，在上為減函數.   (8分)
(Ⅲ)由( I )知，，假設曲線上存在兩點P、Q滿足題意，則P、Q兩點只能在軸兩側，設，則，
因為△OPQ(O為原點)是以O為直角頂點的直角三角形，
，即①
（1）當時，，此時方程①為，化簡得.此方程無解，滿足條件的P、Q不存在.
(2)當時，，此時方程①為，
即.
設，則，
顯然當時，，即在上為增函數，所以的值域為.
所以當時方程①總有解.
綜上，存在P、Q兩點滿足題意，則a的取值范圍為.