Question

已知函數.
（Ⅰ）當時，試討論的單調性；
（Ⅱ）設，當時，若對任意，存在，使，求實數取值范圍.

Answer 1

(I) 當時，當時，在上，，在上，，函數在上單調遞減，在上單調遞增；當時，函數在單調遞減；當時，時,,函數在上單調遞減；時,函數在上單調遞增；時,函數在上單調遞減；（II）實數取值范圍．

試題分析：(I) 當時，試討論的單調性，首先確定定義域，可通過單調性的定義，或求導確定單調性，由于，含有對數函數，可通過求導來確定單調區間，對函數求導得，由此需對參數討論，分，，三種情況，判斷導數的符號，從而得單調性；（II）設，當時，若對任意，存在，使，求實數取值范圍，由題意可知，當時，若對任意時，的最小值大于或等于當時的最小值即可，由（I）知，當時，在單調遞減，在單調遞增.，只需求出的最小值，由于本題屬于對稱軸不確定，需討論，從而確定實數取值范圍．也可用分離參數法來求．
試題解析：（I） =（）   3分
當時，在上，，在上，，函數在上單調遞減，在上單調遞增；    4分
當時，，函數在單調遞減；                   5分
當時，，時,,函數在上單調遞減；時,,函數在上單調遞增；時,,函數在上單調遞減.     7分
（II）若對任意，存在，使成立，只需      9分
由（I）知，當時，在單調遞減，在單調遞增.，     11分
法一：，對稱軸，當，即時，，得：；
當，即時，，得：；
當，即時，，得：.          14分
綜上：.                         15分
法二：
參變量分離：，                     13分
令，只需，可知在上單調遞增，，.  15分