Question

已知函數f（x）=

1

3

x³+

1

2

ax²+bx+1（x∈R，a，b為實數）有極值，且x=-1處的切線與直線x-y+1=0平行．
（1）求實數a的取值范圍．
（2）是否存在實數a，使得f′（x）=x的兩個根x₁，x₂滿足0＜x₁＜x₂＜1，若存在，求實數a的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據極值的信息，則選用導數法，先求f'（x），再由f（x）有極值，可有=a²-4b＞0，又由在x=-1處的切線與直線x-y+1=0平行，可得f'（-1）=1-a+b=1從而求解．
（2）先假存在，則根據條件，則有

△=(a-1)2-4b＞0① 0＜ 1-a 2 ＜1② g(0)=a＞0③ g(1)=2a＞0④

解之得答案．

解答：解：（1）f'（x）=x²+ax+b（1分）
因為f（x）有極值，∴△=a²-4b＞0（2分）
又在x=-1處的切線與直線x-y+1=0平行，∴f'（-1）=1-a+b=1①②③④
∴b=a代入（*）式得，a²-4b＞0，∴a＞4或a＜0（6分）
（2）假若存在實數a，使f'（x）=x的兩個根x₁、x₂滿足0＜x₁＜x₂＜1，
即x²+（a-1）x+a=0的兩個根x₁、x₂滿足0＜x₁＜x₂＜1，
令g（x）=x²+（a-1）x+a，則有：

△=(a-1)2-4b＞0① 0＜ 1-a 2 ＜1② g(0)=a＞0③ g(1)=2a＞0④

解之得
0＜a＜3∴存在實數a，且0＜a＜3使是f'（x）=x的兩個根滿足0＜x₁＜x₂＜1．

點評：本題主要考查極值和導數的幾何意義以及方程根的分布問題．