Question

【題目】已知Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且滿足Sn﹣2an=n﹣4．
（1）證明{Sn﹣n+2}為等比數(shù)列；
（2）設(shè)數(shù)列{Sn}的前n項(xiàng)和Tn ， 比較Tn與2n+2﹣5n的大小．

Answer 1

【答案】
（1）證明：注意到n=1時，S1﹣1+2=4，

n≥2時原式轉(zhuǎn)化為：Sn=2（Sn﹣Sn﹣1）=n﹣4，即Sn=2Sn﹣1﹣n+4，

所以Sn﹣n+2=2[Sn﹣1﹣（n﹣1）+2]，

所以{Sn﹣n+2}為首項(xiàng)為4，公比為2等比數(shù)列

（2）解：由（1）知：Sn﹣n+2=2n+1，所以Sn=2n+1+n﹣2，

于是Tn=（22+23+…+2n+1）+（1+2+…+n）﹣2n

= = ．

所以 = = ，

因?yàn)閚≥1，所以 即 ，當(dāng)且僅當(dāng)n=1時取等號

【解析】（1）根據(jù)數(shù)列的遞推公式可得Sn﹣n+2=2[Sn﹣1﹣（n﹣1）+2]，即可證明，（2）利用分組求和求出Tn ， 再利用作差法比較大小即可
【考點(diǎn)精析】掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式（及其變式）是解答本題的根本，需要知道通項(xiàng)公式：．