Question

（2011•花都區模擬）已知函數f（x）=x²+alnx．
（1）當a=-2時，求函數f（x）的單調區間和極值；
（2）若g(x)=f(x)+

2

x

在[1，+∞）上是單調函數，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求出函數f（x）的導數，得到導數在x=1時為零．然后列表討論函數在區間（0，1）和（1，+∞）上討論函數的單調性，即可得到函數f（x）的單調區間和極值；
（2）g(x)=f(x)+

2

x

在[1，+∞）上是單調函數，說明g（x）的導數g'（x）在區間[1，+∞）恒大于等于0，或g'（x）在區間[1，+∞）恒小于等于0．然后分兩種情況加以討論，最后綜合可得實數a的取值范圍．

解答：解：（1）易知，函數f（x）的定義域為（0，+∞）．…（1分）
當a=-2時，f′(x)=2x-

2

x

=

2(x+1)(x-1)

x

．…（2分）
當x變化時，f'（x）和f（x）的值的變化情況如下表：…（4分）

x	（0，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	-	0	+
f（x）	遞減	極小值	遞增

由上表可知，函數f（x）的單調遞減區間是（0，1），單調遞增區間是（1，+∞），極小值是f（1）=1．…（8分）
（2）由g(x)=x2+alnx+

2

x

，得g′(x)=2x+

a

x

-

2

x2

．…（9分）
又函數g(x)=x2+alnx+

2

x

為[1，+∞）上單調函數，
①若函數g（x）為[1，+∞）上的單調增函數，
則g'（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，
即不等式2x-

2

x2

+

a

x

≥0在[1，+∞）上恒成立．
也即a≥

2

x

-2x2在[1，+∞）上恒成立，
而φ（x）=

2

x

-2x2在[1，+∞）上的最大值為φ（1）=0，所以a≥0．…（12分）
②若函數g（x）為[1，+∞）上的單調減函數，
根據①，在[1，+∞）上φ（x）_max=φ（1）=0，φ（x）沒有最小值．…（13分）
所以g'（x）≤0在[1，+∞）上是不可能恒成立的．…（15分）
綜上，a的取值范圍為[0，+∞）．…（16分）

點評：本題是一道導數的應用題，著重考查利用導數研究函數的單調性與極值，函數恒成立等知識點，屬于中檔題．