Question

【題目】如圖，在直角中，，通過(guò)以直線(xiàn)為軸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到（）.點(diǎn)為斜邊上一點(diǎn).點(diǎn)為線(xiàn)段上一點(diǎn)，且.

（1）證明：平面；

（2）當(dāng)直線(xiàn)與平面所成的角取最大值時(shí)，求二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）

【解析】

（1）先算出的長(zhǎng)度，利用勾股定理證明，再由已知可得，利用線(xiàn)面垂直的判定定理即可證明；

（2）由（1）可得為直線(xiàn)與平面所成的角，要使其最大，則應(yīng)最小，可得為中點(diǎn)，然后建系分別求出平面的法向量即可算得二面角的余弦值，進(jìn)一步得到正弦值.

（1）在中，，由余弦定理得

，

∴，

∴，

由題意可知：∴，，，

∴平面，

平面，∴，

又，

∴平面.

（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，的方向?yàn)?/span>，，軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系.

∵平面，∴在平面上的射影是，

∴與平面所成的角是，∴最大時(shí)，即，點(diǎn)為中點(diǎn).

，，，，，

，，設(shè)平面的法向量，

由，得，令，得，

所以平面的法向量，

同理，設(shè)平面的法向量，由，得，

令，得，所以平面的法向量，

∴，，

故二面角的正弦值為.