Question

（本小題共14分）如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，AC=BC，M，N分別是CC1，AB的中點．

（Ⅰ）求證：CN⊥AB1；

（Ⅱ）求證：CN //平面AB1M．

 

 

 

Answer 1

【答案】

 

證明：（Ⅰ）因為三棱柱ABC-A1B1C1中CC1⊥底面ABC，

    所以BB1⊥平面ABC，   所以BB1⊥CN．…………………1分

    因為AC=BC，N是AB的中點，

    所以CN⊥AB．                     ……………………3分

因為AB∩BB1=B，                   ……………………4分

所以CN⊥平面AB B1A1．            ……………………5分

所以CN⊥AB1．                     ……………………6分

 

（Ⅱ）（方法一）連結A1B交AB1于P．    ……………………7分

因為三棱柱ABC-A1B1C1，

所以P是A1B的中點．

因為M，N分別是CC1，AB的中點，

所以NP // CM，且NP = CM，         ……………………9分

所以四邊形MCNP是平行四邊形，    ……………………10分

所以CN//MP．                     ……………………11分

因為CN平面AB1M，MP平面AB1M，  ………………12分

所以CN //平面AB1M．              ……………………14分

（方法二）取BB1中點P，連結NP，CP． ……………………7分

因為N，P分別是AB，BB1的中點，

所以NP //AB1．

因為NP平面AB1M，AB1平面AB1M，

所以NP //平面AB1M．              ……………………10分

同理 CP //平面AB1M．              ……………………11分

因為CP∩NP =P，

所以平面CNP //平面AB1M．        ……………………13分

因為CN平面CNP，

所以CN //平面AB1M．             ……………………14分

 

【解析】略