Question

仔細閱讀下面問題的解法：
設A=[0，1]，若不等式2^1-x-a＞0在A上有解，求實數a的取值范圍．
解：由已知可得  a＜2^1-x
令f（x）=2^1-x，不等式a＜2^1-x在A上有解，
∴a＜f（x）在A上的最大值
又f（x）在[0，1]上單調遞減，f（x）_max=f（0）=2
∴a＜2即為所求．
學習以上問題的解法，解決下面的問題：
（1）已知函數f（x）=x²+2x+3 （-2≤x≤-1）求f（x）的反函數及反函數的定義域A；
（2）對于（1）中的A，設g（x）=

10-x

10+x

x∈A，試判斷g（x）的單調性；（不證）
（3）又若B={x|

10-x

10+x

＞2^x+a-5}，若A∩B≠Φ，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先根據函數的單調性得到反函數的定義域；再求出x=-1-

y-2

即可得到函數f（x）的反函數；
（2）直接對其分離常數即可得到其單調性；
（3）先根據條件把問題轉化為不等式a＜

10-x

10+x

-2^x+5在集合A上有解；再根據函數的單調性求出h（x）=

10-x

10+x

-2^x+5在集合A上的最大值，即可得到結論．

解答：解：（1）f（x）=（x+1）²+2
∵f（x）在[-2，-1]上單調遞減
∴f（x）∈[2，3]
故反函數的定義域A=[2，3]（2分）
令x+1=-

y-2

，x=-1-

y-2

∴f^-1（x）=-1-

x-2

  x∈[2，3]（4分）
（2）g（x）=

10-x

10+x

=-1+

20

10+x

  x∈[2，3]
g（x）在x∈[2，3]上單調遞減           （8分）
（3）由A∩B≠Φ，⇒不等式

10-x

10+x

＞2^x+a-5在集合A上有解，
亦即不等式a＜

10-x

10+x

-2^x+5在集合A上有解，（10分）
令函數h（x）=

10-x

10+x

-2^x+5，
a＜h（x）在集合A上有解，⇒a＜h（x）在集合A上的最大值
又h（x）=-1+

20

10+x

-2^x+5=

20

10+x

-2^x+4 在區間A上單調遞減
h（x）_max=g（2）=

5

3

⇒a＜

5

3

⇒實數a的取值范圍為（-∞，

5

3

）                               （12分）

點評：本題主要考查函數的單調性的應用以及反函數的求法．是對函數知識的綜合考查，屬于中檔題目，考查計算能力以及分析問題的能力．