Question

仔細閱讀下面問題的解法：設A=［0，1］，若不等式2^1-x+a＞0在A上有解，求實數a的取值范圍.

解;令f(x)=2^1-x+a,∵f(x)＞0在A上有解，∴f(x)在A上的最大值大于0.又∵f（x）在［0,1］上單調遞減，

∴f(x)_max=f(0)=2+a＞0,∴a＞-2.

學習以上問題的解法，解決下面的問題：已知函數f(x)=x²+2x+3(-2≤x≤-1).

（1）求f(x)的反函數f^-1(x)及反函數的定義域A；

（2）設B={x|lg＞lg（2^x+a-5）}，若A∩B≠，求實數a的取值范圍.

Answer 1

解:（1）y=x²+2x+3=(x+1)²+2,(x+1)²=y-2，

∵-2≤x≤-1,∴x+1=,

∴f^-1(x)=-1-，反函數的定義域 A=［2，3］.

（2）即

∵A∩B≠,∴不等式組在A=［2,3］上有解.

令f(x)=2^x+a-5,g(x)=+x-2^x-a+4，

易知，f(x)在A=［2,3］上單調遞增；g(x)在A=［2，3］上單調遞減.

則f_max=f(3)=a+3＞0,∴a＞-3,g_max=g(2)= -a＞0，∴a＜.

∴a∈（-3，）.