Question

如圖，已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為2，E、F分別是A₁B₁、CC₁的中點，過D₁、E、F作平面D₁EGF交BB₁于G．
（Ⅰ）求證：EG∥D₁F；
（Ⅱ）求二面角C₁-D₁E-F的余弦值；
（Ⅲ）求正方體被平面D₁EGF所截得的幾何體ABGEA₁-DCFD₁的體積．

Answer 1

分析：（I）根據正方體的幾何特征及面面平行的性質定理，易證得EG∥D₁F；
（Ⅱ）以D為原點分別以DA、DC、DD₁為x、y、z軸，建立空間直角坐標系，分別求出平面D₁EGF的法向量和平面ABCD的法向量，代入向量夾角公式，即可得到答案；
（III）幾何體ABGEA₁-DCFD₁由正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁減去一個棱臺D₁FC₁-EGB₁得到，分別求出正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的體積和棱臺D₁FC₁-EGB₁的體積，即可得到答案．

解答：證明：（Ⅰ）在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，∵平面ABB₁A₁∥平面DCC₁D₁
平面D₁EGF∩平面ABB₁A₁=EG，平面D₁EGF∩平面DCC₁D₁=D₁F，
∴EG∥D₁F．（3分）
解：（Ⅱ）如圖，以D為原點分別以DA、DC、DD₁為
x、y、z軸，建立空間直角坐標系，則有
D₁（0，0，2），E（2，1，2），F（0，2，1），
∴

D1E

=（2，1，0），

D1F

=（0，2，-1）
設平面D₁EGF的法向量為

n

=（x，y，z）
則由

n

•

D1E

=0，和

n

•

D1F

=0，得

2x+y=0 2y-z=0

，
取x=1，得y=-2，z=-4，∴

n

=（1，-2，-4）（6分）
又平面ABCD的法向量為

DD1

（0，0，2）
以二面角C₁-D₁E-F的平面角為θ，
則cosθ=|

DD1 • n

|DD1 |•| n |

|=

4 21

21

故截面D₁EGF與底面ABCD所成二面角的余弦值為

4 21

21

．（9分）
解：（Ⅲ）設所求幾何體ABGEA₁-DCFD₁的體積為V，
∵△EGB₁∽△D₁FC₁，D₁C₁=2，C₁F=1，
∴EB₁=

1

2

D₁C₁=1，B₁G=

1

2

C₁F=

1

2

，
∴S△EB1G=

1

2

EB₁•B₁G=

1

2

•1•

1

2

=

1

4

，
S△D1FC1=

1

2

D₁C₁•C₁F=

1

2

•2•1=1（11分）
故V_{棱臺D1FC1-EGB1}=

7

6

∴V=V_正方體-V_{棱臺D1FC1-EGB1}=2³-

7

6

=

41

6

．（14分）

點評：本題考查的知識點是用空間向量求平面間的夾角，組合體的體積，線線平行的判定，其中（1）的關鍵是熟練掌握線線平行、線面平行、面面平行之間的相互轉化，（2）的關系是求出平面D₁EGF的法向量和平面ABCD的法向量，（3）的關鍵是分析出幾何體ABGEA₁-DCFD₁由正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁減去一個棱臺D₁FC₁-EGB₁得到．