Question

根據遼寧省期初教育工作會議精神, 我省所有中小學全部取消晚自習, 某校高二年級共有學生1000 名, 其中走讀生750 名, 住宿生250 名, 現從該年級采用 分層抽樣的方法從該年級抽取n 名學生進行問卷調 查. 根據問卷取得了這n 名同學每天晚上有效學習時 間( 單位: 分鐘) 的數據, 按照以下區間分為八組 ①[0,30), ②[30,60), ③[60,90), ④[90,120), ⑤[120,150), ⑥[150,180), ⑦[180,210), ⑧[210,240), 得到頻率分布直方圖如下. 已知抽取的學生中每天晚上 有效學習時間少于60 分鐘的人數為5 人；
（1 ）求n 的值并補全下列頻率分布直方圖；

（2 ）如果把“學生晚上有效時間達到兩小時”作為是否充分利用時間的標準，對抽取的n 名學生，完成下列2 ×2 列聯表：

是否有95%的把握認為學生利用時間是否充分與走讀、住宿有關？
（3）若在第①組、第②組、第⑦組、第⑧組中共抽出3人調查影響有效利用時間的原因，記抽到“有效學習時間少于60 分鐘”的學生人數為X，求X的分布列及期望；
參考公式：

Answer 1

解：（1 ）設第i 組的頻率為Pi（i=1,2, …,8),
則由圖可知：
∴學習時間少于60 鐘的頻率為：
由題意：
∴n=100
，，，，
∴
第④組的高度
頻率分布直方圖如圖：

（2）2×2列聯表如下：


由于K²>3.841,
所以有95%的把握認為學生利用時間是否充分與走讀、住宿有關
（3）由（1）知：第①組1人，第②組4人，第⑦組15人，第⑧組10人，總計20人。
則X的所有可能取值為0，1，2，3