Question

已知函數f（x）=mx³+nx²（m，n∈R，m＞n且m≠0）的圖象在（2，f（2））處的切線與x軸平行．
（1）試確定m、n的符號；
（2）若函數y=f（x）在區間[n，m]上有最大值為m-n²，試求m的值．

Answer 1

分析：（1）先對函數f（x）進行求導，又根據f'（2）=0可得到m關于n的代數式．
（2）令f′（x）=3mx²+2nx=3mx²-6mx=0，得x=0或x=2，易證x=0是f（x）的極大值點，x=2是極小值點，
在討論m的取值范圍，根據[n，m]上的最大值，求出m的值．

解答：解：（I）由圖象在（2，f（2））處的切線與x軸平行，
知f'（2）=0，∴n=-3m①
又n＜m，故n＜0，m＞0．
（II）令f′（x）=3mx²+2nx=3mx²-6mx=0，
得x=0或x=2
易證x=0是f（x）的極大值點，x=2是極小值點（如圖）．
令f（x）=f（0）=0，得x=0或x=3．
分類：（I）當0＜m≤3時，f（x）_max=f（0）=0，∴m-n²=0．②
由①，②解得m=

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，符合前提0＜m≤3．
（II）當m＞3時，f（x）_max=f（m）=m⁴+m²n，
∴m⁴+m²n=m-n²．③
由①，③得m³-3m²+9m-1=0．
記g（m）=m³-3m²+9m-1，
∵g′（m）=3m²-6m+9=3（m-1）²+6＞0，
∴g（m）在R上是增函數，又m＞3，∴g（m）＞g（3）=26＞0，
∴g（m）=0在（3，+∞）上無實數根．綜上，m的值為m=

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．

點評：考查學生利用待定系數法求函數解析式的能力，利用導數研究函數極值和單調性的能力，以及掌握不等式恒成立的條件