Question

已知函數f（x）=m（x+

1

x

）的圖象與h（x）=（x+

1

x

）+2的圖象關于點A（0，1）對稱．
（1）求m的值；
（2）若g（x）=f（x）+

a

4x

在（0，2]上是減函數，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：由函數f（x）=m（x+

1

x

）的圖象與h（x）=（x+

1

x

）+2的圖象關于點A（0，1）對稱．
（1）我們可以根據A是兩個相互對稱點的中點，求出函數f（x）=m（x+

1

x

）的圖象上一點的坐標，然后構造一個關于m的方程，解方程即可得到m的值；
（2）利用單調性的定義，我們可以利用作差法，構造一個關于a的不等式，解不等式即可求出a的取值范圍．

解答：解：（1）設P（x，y）是h（x）圖象上一點，點P關于A（0，1）的對稱點為Q（x₀，y₀），則x₀=-x，y₀=2-y．
∴2-y=m，∴y=m+2，從而m=

1

4

．
（2）g（x）=

1

4

（x+

1

x

）+

a

4x

=

1

4

（x+

a+1

x

）．
設0＜x₁＜x₂≤2，
則g（x₁）-g（x₂）=

1

4

（x1+

a+1

x1

）-

1

4

（x2+

a+1

x2

）
=

1

4

（x₁-x₂）+

1

4

（a+1）•

x2-x1

x1x2

=

1

4

（x₁-x₂）•

x1x2-(a+1)

x1x2

＞0，
并且在x₁，x₂∈（0，2]上恒成立，
∴x₁x₂-（a+1）＜0，
∴1+a＞x₁x₂，1+a≥4，∴a≥3．

點評：本題考查的知識點是函數的對稱性和奇偶性，其中利用函數的性質，將問題轉化為一個方程問題或是不等式問題是解答本題的關鍵．