Question

（2004•黃埔區一模）已知，二次函數f（x）=ax²+bx+c及一次函數g（x）=-bx，其中a、b、c∈R，a＞b＞c，a+b+c=0．
（Ⅰ）求證：f（x）及g（x）兩函數圖象相交于相異兩點；
（Ⅱ）設f（x）、g（x）兩圖象交于A、B兩點，當AB線段在x軸上射影為A₁B₁時，試求|A₁B₁|的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）首先將兩函數聯立得出ax²-2bx+c=0，再利用根的判別式得出它的符號即可；
（II）利用線段AB在x軸上的射影A₁B₁長的平方，以及a，b，c的符號得出|A₁B₁|的范圍即可．

解答：解：依題意，知a、b≠0?
∵a＞b＞c且a+b+c=0?
∴a＞0且c＜0
（Ⅰ）令f（x）=g（x），?
得ax²+2bx+c=0．（*）?
△=4（b²-ac）
∵a＞0，c＜0，∴ac＜0，∴△＞0?
∴f（x）、g（x）相交于相異兩點．
（Ⅱ）設方程的兩根為x₁，x₂，則|A₁B₁|²=

A

a2

=4[（

c

a

+

1

2

）²+

3

4

]，
∵a＞b＞c，a+b+c=0，
∴a＞-（a+c）＞c，a＞0，
∴-2＜

c

a

＜-

1

2

，
此時3＜A₁B₁²＜12，
∴

3

＜|A₁B₁|＜2

3

．

點評：本小題主要考查二次函數的圖象、二次函數的性質、根的判別式、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于基礎題，