Question

有一種舞臺(tái)燈，外形是正六棱柱，在其每一個(gè)側(cè)面上安裝5只顏色各異的彩燈，假若每只燈正常發(fā)光的概率為∴．若一個(gè)面上至少有3只燈發(fā)光，則不需要維修，否則需要更換這個(gè)面．假定更換一個(gè)面需要100元，用ξ表示維修一次的費(fèi)用．
（1）求恰好有2個(gè)面需要維修的概率；
（2）寫(xiě)出ξ的分布列，并求ξ的數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

解：（Ⅰ）解：（Ⅰ）因?yàn)橐粋�(gè)面不需要維修的概率為，所以一個(gè)面需要維修的概率為．
因此，六個(gè)面中恰好有2個(gè)面需要維修的概率為．
（Ⅱ）因?yàn)棣巍?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/52727.png' />，又，，，，，，，
所以維修一次的費(fèi)用ξ的分布為：

ξ	0	100	200	300	400	500	600
P

…（12分）
因?yàn)棣巍?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/52727.png' />，所以元．
分析：（Ⅰ）先求出一個(gè)面不需要維修的概率，從而得到一個(gè)面需要維修的概率．由此能夠求出六個(gè)面中恰好有2個(gè)面需要維修的概率．
（Ⅱ）由ξ～，知，，，，，，，由此能得到維修一次的費(fèi)用ξ的分布和ξ的數(shù)學(xué)期望．
點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差，解題時(shí)要注意二項(xiàng)分布的合理運(yùn)用．