Question

有一種舞臺燈，外形是正六棱柱ABCDEF-A₁B₁C₁D₁E₁F₁，在其每一個側面上（不在棱上）安裝5只顏色各異的彩燈，上下底面不安裝彩燈，假若每只燈正常發光的概率是0.5，若一個面上至少有3只燈發光，則不需要維修，否則需要更換這個面．假定更換一個面需100元，用ξ表示維修一次的費用．
（1）求側面ABB₁A₁需要維修的概率；
（2）寫出ξ的分布列，并求ξ的數學期望．

Answer 1

分析：（1）由題意知側面ABB₁A₁需要維修包括三種結果，一是五個燈中有三個不發光，二是五個燈中有4個不發光，三是五個燈中有5個不發光，這三種結果是互斥的，而每一種結果又是一個獨立重復試驗，由公式得到結果．
（2）由題意知這個六棱柱每一個面要維修的概率是相同的，且各個面的維修情況是相互獨立的，每次試驗有兩個結果，得到變量符合二項分布，根據二項分布的公式得到結果．

解答：解：（1）由題意知側面ABB₁A₁需要維修包括三種結果，
一是五個燈中有三個不發光，二是五個燈中有4個不發光，三是五個燈中有5個不發光，
這三種結果是互斥的，
而每一種結果又是一個獨立重復試驗，由公式得到
P1=

C

3 5

(

1

2

)5+

C

4 5

(

1

2

)5+

C

5 5

(

1

2

)5=

1

2

；
（2）∵由題意知這個六棱柱每一個面要維修的概率是相同的，
且各個面的維修情況是相互獨立的，
∴ξ～B(6，

1

2

)
根據二項分布的公式得到
P6(0)=

1

64

，P6(1)=

3

32

，P6(2)=

15

64

，P6(3)=

5

16

，
P6(4)=

15

64

，P6(5)=

3

32

，P6(6)=

1

64

．
Eξ=100×6×

1

2

=300（元）．

點評：二項分布要滿足的條件：每次試驗中，事件發生的概率是相同的，各次試驗中的事件是相互獨立的，每次試驗只要兩種結果，要么發生要么不發生，隨機變量是這n次獨立重復試驗中實件發生的次數．