Question

在1與2之間插入n個正數a₁,a₂,a₃,…,a_n,使這n+2個數成等比數列；又在1與2之間插入n個正數b₁,b₂,b₃,…,b_n,使這n+2個數成等差數列.記A_n=a₁a₂a₃…a_n,B_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n.

(1)求數列{A_n}和{B_n}的通項；

（2）當n≥7時，比較A_n與B_n的大小，并證明你的結論.

Answer 1

解析：（1）∵1，a₁,a₂,a₃,…,a_n,2成等比數列，

∴a₁a_n=a₂a_n-1=a₃a_n-2=…=a_ka_n-k+1=…=1×2=2.

∴A_n²=(a₁a_n)(a₂a_n-1)(a₃a_n-2)…(a_n-1a₂)(a_na₁)=(1×2)ⁿ=2ⁿ.

∴A_n=.∵1,b₁,b₂,b₃,…,b_n,2成等差數列，

∴b₁+b_n=1+2=3.

∴B_n=·n=n.

∴數列{A_n}的通項A_n=數列{B_n}的通項B_n=n.

(2)∵A_n=,B_n=n,∴A_n²=2ⁿ,B_n²=n².要比較A_n與B_n的大小，只需比較A_n²與B_n²的大小,也即比較當n≥7時，2ⁿ與n²的大小.當n=7時，2ⁿ=128,n²=×49,得知2ⁿ＞n².

經驗證，n=8，n=9時均有命題2ⁿ＞n²

成立.猜想當n≥7時，有2ⁿ＞n²,用數學歸納法證明.

①當n=7時，已驗證2ⁿ＞n²,命題成立.

②假設n=k(k≥7)時命題成立，即2^k＞k²,那么2^k+1＞2×k².又當k≥7時，有k²＞2k+1.

∴2^k+1＞×(k²+2k+1)=(k+1)².這就是說，當n=k+1時，命題2ⁿ＞n²成立.

根據①②，可知命題對于n≥7都成立.故當n≥7時，A_n＞B_n.