Question

在1與2之間插入n個正數a₁，a₂，a₃，…，a_n，使這n+2個數成等比數列；又在1與2之間插入n個正數b₁，b₂，b₃，…，b_n，使這n+2個數成等差數列．記A_n=a₁a₂a₃…a_n，B_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n．
（1）求數列{A_n}和{B_n}的通項；
（2）當n≥7時，比較A_n和B_n的大小，并證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）由1，a₁，a₂，a₃，…，a_n，n成等比數列，結合等比數列的性質可得，a₁a_n=a₂a_n-1=…=a_ka_n-k=1×2，從而可求A_n；1，b₁，b₂，b₃，…，b_n，2這n+2個數成等差數列．利用等差數列的性質可得b₁+b_n=b₂+b_n-1=…=b_k+b_n-k=1+2從而可求B_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n．
（2）由（1）可求A_n，B_n＞0，轉化比較A_n²，B_n²的大小，先取n=7，8，9代入計算，觀察A_n²與B_n²的大小，做出猜想，利用數學歸納法進行證明．

解答：解：（1）∵1，a₁，a₂，a₃，a_n，2成等比數列，
∴a₁a_n=a₂a_n-1=a₃a_n-2═a_ka_n-k+1═1×2=2，
∴A_n²=（a₁a_n）（a₂a_n-1）（a₃a_n-2）（a_n-1a₂）（a_na₁）=（1×2）ⁿ=2ⁿ，
∴An=2

n

2

．（4分）
∵1，b₁，b₂，b₃，b_n，2成等差數列，
∴b₁+b_n=1+2=3，
∴Bn=

b1+bn

2

•n=

3

2

n．
所以，數列{A_n}的通項An=2

n

2

，數列{B_n}的通項Bn=

3

2

n．（6分）
（2）∵An=2

n

2

，Bn=

3

2

n，
∴A_n²=2ⁿ，

B

2 n

=

9

4

n2，
要比較A_n和B_n的大小，只需比較A_n²與B_n²的大小，也即比較當n≥7時，2ⁿ與

9

4

n2的大小．
當n=7時，2ⁿ=128，

9

4

n2=

9

4

×49，得知2n＞

9

4

n2，
經驗證n=8，n=9時，均有命題2n＞

9

4

n2成立．
猜想當n≥7時有2n＞

9

4

n2．用數學歸納法證明．（9分）
①當n=7時，已驗證2n＞

9

4

n2，命題成立．
②假設n=k（k≥7）時，命題成立，即2k＞

9

4

k2，
那么2k+1＞2×

9

4

k2，
又當k≥7時，有k²＞2k+1，
∴2k+1＞

9

4

×(k2+2k+1)=

9

4

×(k+1 )2．
這就是說，當n=k+1時，命題2n＞

9

4

n2成立．
根據（ⅰ）、（ⅱ），可知命題對于n≥7都成立．
故當n≥7時，A_n＞B_n．（12分）

點評：本小題主要考查等差數列、等比數列的基礎知識，考查觀察、猜想并進行證明的數學思想方法．（數學歸納法）．而數學歸納法的關鍵是要由歸納假設n=k成立推導出n=k+1時命題（結論）成立．