Question

已知函數(shù)f(x)=sin

x

2

+2cos2

x

4

（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）在△ABC中，角A、B、C的分別是a、b、c，若（2a-c）cosB=bcosC，求f（A）的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）把函數(shù)的第二項(xiàng)減1，利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡，然后利用兩角和的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值把f（x）化為一個(gè)角的正弦函數(shù)的形式，利用周期公式T=

2π

λ

即可求出函數(shù)的最小正周期；
（2）利用正弦定理化簡（2a-c）cosB=bcosC后，利用兩角和的正弦函數(shù)公式及三角形的內(nèi)角和公式和誘導(dǎo)公式化簡可得cosB的值，根據(jù)cosB的值大于0和B的范圍即可求出B的度數(shù)，利用三角形的內(nèi)角和定理即可求出A+C的度數(shù)得到A的范圍，然后根據(jù)A的范圍求出

A

2

+

π

4

的范圍，由正弦函數(shù)的圖象可知f（A）的范圍．

解答：解：（1）f(x)=sin

x

2

+(2cos2

x

4

-1)+1=sin

x

2

+cos

x

2

+1=

2

sin(

x

2

+

π

4

)+1（4分）
∴f（x）的最小正周期為T=4π；
（2）由（2a-c）cosB=bcosC得（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，
∴2sinAcosB=sin（B+C）=sinA，
∵sinA≠0，
∴cosB=

1

2

，得到B=

π

3

，
∴A+C=

2π

3

，
又∵f(A)=

2

sin(

A

2

+

π

4

)+1，
∴0＜A＜

2π

3

，
∴

π

4

＜

A

2

+

π

4

＜

7π

12

，
又∵sin

π

4

＜sin

7π

12

，
∴

2

2

＜sin(

A

2

+

π

4

)≤1，
∴2＜f(A)≤

2

+1．

點(diǎn)評：此題要求學(xué)生掌握正弦函數(shù)最小正周期的公式，靈活運(yùn)用二倍角的余弦函數(shù)公式及兩角和的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡求值，掌握正弦函數(shù)的圖象，會根據(jù)角度的范圍求出正弦函數(shù)值的范圍，是一道綜合題．