Question

已知a≠b（a、b∈R）是關于x的方程x²-（k-1）x+k²=0兩個根，則以下結論正確的是（　　）

• A．k的取值范圍為（-1，3）
• B．若a，b∈（-∞，0），則k的取值范圍為（-∞，1）
• C．ab+2（a+b）的取值范圍是(-2，-

  11

  9

  )
• D．若a＜-1＜b，則k的取值范圍為（-1，0）

Answer 1

分析：若方程有兩個根，則△＞0，解不等式可得k的取值范圍；若a，b∈（-∞，0），則方程有兩個負根，△＞0且k-1＜0；根據韋達定理可將ab+2（a+b）化為一個關于k的表達式，根據二次函數的圖象和性質，可得其取值范圍，若a＜-1＜b，則當x=-1時，x²-（k-1）x+k²＜0，由此可得k的取值范圍．

解答：解：∵a≠b（a、b∈R）是關于x的方程x²-（k-1）x+k²=0兩個根，∴（k-1）²-4k²=-3k²-2k+1＞0，即3k²+2k-1＜0，解得-1＜k＜

1

3

，故A錯誤；
若a，b∈（-∞，0），則k-1＜0且-1＜k＜

1

3

，故k的取值范圍為（-1，1），故B錯誤；
ab+2（a+b）=k²+2（k-1）=k²+2k-2=（k+1）²-3，（-1＜k＜

1

3

），即ab+2（a+b）∈（-3，-

11

9

），故C錯誤
若a＜-1＜b，當x=-1時，x²-（k-1）x+k²＜0，即k+k²＜0，解得k∈（-1，0），故D正確
故選D

點評：本題考查的知識點是根與系數的關系，其中熟練掌握一元二次方程根的個數與△的關系是解答本題的關鍵．