Question

已知下列命題：
①若f（x）為減函數(shù)，則-f（x）為增函數(shù)；
②若f（0）＜f（4），則函數(shù)f（x）不是R上的減函數(shù)；
③若函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閇0，2]，則函數(shù)f（2x）的定義域?yàn)閇0，4]；
④設(shè)函數(shù)f（x）是在區(qū)間[a，b]上圖象連續(xù)的函數(shù)，且f（a）•f（b）＜0，則方程f（x）=0在區(qū)間[a，b]上至少有一實(shí)根．
⑤若函數(shù)f(x)=

(2-m)x+2m(x＜1) (m-1)|x+1|(x≥1)

在R上是增函數(shù)，則m的取值范圍是1＜m＜2；
其中正確命題的序號(hào)有

①②④

（把所有正確命題的番號(hào)都填上）

Answer 1

分析：①利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性法則（同增異減）即可判斷①的正誤；
②利用減函數(shù)的概念可判斷②的正誤；
③依題意，利用抽象函數(shù)的定義域可求得函數(shù)f（2x）的定義域，從而可判斷③的正誤；
④利用零點(diǎn)存在定理可判斷④的正誤；
⑤利用增函數(shù)的概念可判斷⑤．

解答：解：①∵f（x）為減函數(shù)，
由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知，-f（x）為增函數(shù)，故①正確；
②對(duì)任意x₁，x₂∈R，當(dāng)x₁＜x₂時(shí)，f（x₁）＞f（x₂），則函數(shù)f（x）是R上的減函數(shù)，由R上減函數(shù)的定義可知，x₁，x₂為R上的“任意”實(shí)數(shù)，當(dāng)x₁＜x₂時(shí)，f（x₁）＞f（x₂），而不是“存在”實(shí)數(shù)x₁＜x₂，使得f（x₁）＞f（x₂），故②若f（0）＜f（4），則函數(shù)f（x）不是R上的減函數(shù)，正確；
對(duì)于③，∵函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閇0，2]，
∴0≤2x≤2⇒0≤x≤1，
∴函數(shù)f（2x）的定義域?yàn)閇0，1]，故③錯(cuò)誤；
對(duì)于④，由零點(diǎn)存在定理知，函數(shù)f（x）是在區(qū)間[a，b]上圖象連續(xù)的函數(shù)，且f（a）•f（b）＜0，則方程f（x）=0在區(qū)間[a，b]上至少有一實(shí)根，正確；
對(duì)于⑤，∵f（x）=

(2-m)x+2m(x＜1) (m-1)|x+1|(x≥1)

=

(2-m)x+2m(x＜1) (m-1)(x+1)(x≥1)

在R上是增函數(shù)，
∴

m-1＞0 (1+1)(m-1)≥(2-m)×1+2m 2-m＞0

，解得

m＞1 m≥4 m＜2

，
∴m∈∅，故⑤錯(cuò)誤．
綜上所述，正確命題的序號(hào)有①②④．
故答案為：①②④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，著重考查函數(shù)的單調(diào)性與定義域，考查零點(diǎn)存在定理，屬于中檔題．