Question

已知下列命題四個命題：
①若f（x）是定義在[-1，1]上的偶函數，且在[-1，0）上是增函數，θ∈(

π

4

，

π

2

)，則f（sinθ）＞f（cosθ）；
②在△ABC中，A＞B是cosA＜cosB的充要條件；
③設函數f（x）=x²+2（-2≤x＜0），其反函數為f^-1（x），則f^-1（3）=-1或1．
④在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，已知b²+c²=a²+bc，則A=

π

3

．
其中真命題的個數有（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：①聯系偶函數和增函數得到函數在[0，1]上為減函數，從而可以判斷；
②因為A、B是三角形的內角，所以A，B∈（0，π），在（0，π）上，y=cosx是減函數．由此知△ABC中，“A＞B”?“cosA＜cosB”，即可得答案；
③欲求f^-1（3），根據原函數的反函數為f^-1（x）知，只要求滿足于f（x）=3的x的值即可；
④根據余弦定理表示出cosA，把已知得等式變形后代入即可求出cosA的值，由A的范圍，利用特殊角的三角函數值即可求出A的度數．

解答：解：①由已知可得函數在[0，1]上為減函數，∵θ∈(

π

4

，

π

2

)，∴1＞sinθ＞cosθ＞0，∴f（sinθ）＜f（cosθ），
故①錯；
②∵A、B是三角形的內角，∴A∈（0，π），B∈（0，π），
∵在（0，π）上，y=cosx是減函數，∴△ABC中，“A＞B”?“cosA＜cosB”，故②正確；
③令f（t）=3，則t=f^-1（3）（-2≤t＜0），所以有t²+2=3，所以t=±1，因為-2≤t＜0，所以t=-1，故③錯誤；
④∵b²+c²=a²+bc，∴a²=b²+c²-bc，
結合余弦定理知cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

b2+c2-(b2+c2-bc)

2bc

=

1

2

，
又A∈（0，π），∴A=

π

3

，故④正確．
從而真命題有兩個
故選B．

點評：本題的考點是命題的真假判斷與應用，解題時需依據函數的性質，余弦定理一一判斷，綜合性強．